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是的，银行短信提醒可以在手机上开通。以招商银行为例，具体开通步骤如下。
1、打开手机招商银行应用并登录。
2、进入首页后，点击右下方“我的”选项。
3、在“我的”页面，点击“银行卡设置”选项。
4、在银行卡设置页面，选择要开通短信服务的银行卡并点击“更多功能”。
5、在功能页面里点击“账户变动通知”。
6、页面跳转后，点击“通知设置”，勾选短信服务后，点击“下一步”，最后确认信息无误后，点击“确认开通”，这样即可成功开通短信提醒服务。
步骤适用于招商银行的手机应用操作，其他银行的具体操作步骤可能有所不同，建议前往对应银行的官网查询或者拨打银行的客户服务热线进行咨询。